11987. Треугольник называется разностным, если одна из его сторон равна полусумме двух других. Докажите, что средний по величине угол разностного треугольника не превосходит 60^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим треугольник ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
, AB=c
, полупериметром p
, площадью S
и радиусом вписанной окружности r
, причём c\leqslant a\leqslant b
и a=\frac{b+c}{2}
. Пусть его вписанная окружность с центром I
касается стороны AC
в точке M
. Тогда AM=p-a
(см. задачу 219), r=\frac{S}{p}
(см. задачу 452), значит,
\tg\frac{1}{2}\angle A=\frac{IM}{AM}=\frac{r}{p-a}=\frac{\frac{S}{p}}{p-a}=\frac{S}{p(p-a)}=
=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p(p-a)}=\frac{\sqrt{(p-b)(p-c)}}{\sqrt{p(p-a)}},
а так как
p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+2a}{2}=\frac{3}{2}a,~p-a=\frac{3}{2}a-a=\frac{1}{2}a
и
\sqrt{(p-b)(p-c)}\leqslant\frac{(p-b)+(p-c)}{2}=p-\frac{b+c}{2}=\frac{3}{2}a-a=\frac{1}{2}a,
то
\tg\frac{1}{2}\angle A\leqslant\frac{\frac{1}{2}a}{\sqrt{\frac{3}{2}a\cdot\frac{1}{2}a}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Значит, \frac{1}{2}\angle A\leqslant30^{\circ}
. Следовательно, \angle A\leqslant60^{\circ}
(причём равенство достигается в случае, если p-b=p-c
, или b=c=a
, т. е. для равностороннего треугольника). Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть стороны разностного треугольника равны a-d
, a
, a+d
, причём 0\leqslant d\lt a
. По теореме косинусов
a^{2}=(a-d)^{2}+(a+d)^{2}-2(a-d)(a+d)\cos\angle A,
откуда, если d\ne0
, то
\cos\angle A=\frac{1}{2}\cdot\frac{a^{2}+2d^{2}}{a^{2}-d^{2}}\gt\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}
(так как
\frac{a^{2}+2d^{2}}{a^{2}-d^{2}}\gt1~\Leftrightarrow~a^{2}+2d^{2}\gt a^{2}-d^{2}~\Leftrightarrow~d\ne0).
Следовательно, \angle A\gt60^{\circ}
(причём, если d=0
, то треугольник равносторонний, и \angle A=60^{\circ}
).