13865. Дан треугольник ABC
с углами \angle BAC=45^{\circ}
и \angle BCB=30^{\circ}
. Точка M
— середина стороны BC
. Докажите, что \angle AMB=45^{\circ}
и BC\cdot AC=2AM\cdot AB
.
Решение. Опустим перпендикуляр BD
на сторону AC
. Треугольник ADB
прямоугольный и равнобедренный, AD=BD
. Медиана DM
прямоугольного треугольника BDC
равна половине гипотенузы BC
(см. задачу 1109), поэтому
DM=MB=MC~\mbox{и}~\angle CDM=\angle DMC=30^{\circ},
а так как BMD
— внешний угол равнобедренного треугольника DMC
, то
\angle DMB=2\angle DCM=60^{\circ}.
Значит, равнобедренный треугольник BMD
— равносторонний, поэтому
AD=BD=DM,
а так как CDM
— внешний угол равнобедренного треугольника ADM
, то
\angle AMD=\frac{1}{2}\angle DCM=15^{\circ}.
Следовательно,
\angle AMB=\angle BMD-\angle AMD=60^{\circ}-15^{\circ}=45^{\circ}.
По теореме синусов
\frac{AB}{\sin30^{\circ}}=\frac{BC}{\sin45^{\circ}}~\mbox{и}~\frac{AC}{\sin135^{\circ}}=\frac{AM}{\sin30^{\circ}},
откуда
\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}~\mbox{и}~\frac{AM}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Значит,
\frac{AB\cdot AM}{BC\cdot AC}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2}.
Следовательно,
BC\cdot AC=2AM\cdot AB.