13866. Дан параллелограмм ABCD
. Прямая, проведённая через вершину D
, пересекает отрезок AC
в точке G
, сторону BC
— в точке F
, а прямую AB
— в точке E
. Треугольники BEF
и CGF
равновелики. Найдите отношение AG:GC
.
Решение. Треугольник AGD
подобен треугольнику CGF
, а треугольник BFE
— треугольнику CFD
, поэтому
\frac{AG}{GC}=\frac{AD}{FC}=\frac{BC}{FC}=\frac{BF+FC}{FC}=
=\frac{BF}{FC}+1=\frac{BE}{CD}+1=\frac{BE}{AB}+1.
Треугольники BEF
и CGF
равновелики, поэтому BG\parallel EC
(см. задачу 4190). Значит, \frac{AG}{GC}=\frac{AB}{BE}
, а так как \frac{AG}{GC}=\frac{BE}{AB}+1
, то
\frac{AG}{GC}=\frac{GC}{AG}+1.
Тогда искомое отношение \frac{AG}{GC}
— положительный корень квадратного уравнения
\left(\frac{AG}{GC}\right)^{2}-\frac{AG}{GC}-1=0,
т. е.
\frac{AG}{GC}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 7, задача D2, с. 444
Источник: Чешские математические олимпиады. — 2004-2005