13868. Высоты остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
, M
— середина стороны AB
. Докажите, что биссектриса угла KML
проходит через середину отрезка CH
.
Решение. Докажем следующее утверждение, равносильное данному. Если N
— середина отрезка CH
, то луч MN
— биссектриса угла KLM
.
Действительно, точки M
и N
равноудалены от концов отрезка KL
, поэтому прямая MN
— серединный перпендикуляр к этому отрезку (см. задачу 2308). Из равенства треугольников MKN
и MLN
следует равенство углов KMN
и LMN
, т. е. луч MN
— биссектриса угла KLM
. Что и требовалось доказать.