2308. Высоты AA'
и BB'
треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Точки X
и Y
— середины отрезков AB
и CH
соответственно. Докажите, что прямые XY
и A'B'
перпендикулярны.
Решение. Первый способ. Медианы A'Y
и B'Y
прямоугольных треугольников A'CH
и B'CH
, проведённые из вершин прямых углов, равны половине общей гипотенузы CH
(см. задачу 1109). Поэтому A'Y=\frac{1}{2}CH=B'Y
. Аналогично A'X=B'X
. Значит, точки X
и Y
равноудалены от концов отрезка A'B'
. Следовательно, XY
— серединный перпендикуляр к отрезку A'B'
.
Второй способ. Из точек A'
и B'
отрезок CH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CH
. Аналогично точки A'
и B'
лежат на окружности с диаметром AB
. Точки Y
и X
— центры этих окружностей, а так как линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, то XY\perp A'B'
.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2005, LXVIII, 8 класс
Источник: Турнир городов. — 2004-2005, XXVI, весенний тур, младшие классы, основной вариант
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 3, с. 64
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2014. — № 1.33, с. 13
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.33.1, с. 13