13870. Диагонали AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются под прямым углом в точке P
. Точки I
, J
, K
и L
— середины сторон AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников PIJ
, PJK
, PKL
и PLI
равны тогда и только тогда, четырёхугольник ABCD
вписанный.
Решение. Четырёхугольник IJKL
— параллелограмм (см. задачу 1204) с прямым углом, т. е. прямоугольник. четырёхугольник ABCD
выпуклый, поэтому точка P
лежит внутри него. Отрезок IJ
— средняя линия треугольника ABC
, значит, прямая IJ
проходит через середину отрезка BP
, а так как IJ\parallel AC
, то IJ\perp BP
, т. е. прямая IJ
— серединный перпендикуляр к отрезку BP
. Тогда \angle PIJ=\angle JIB
, а так как IJ\parallel AC
, то \angle JIB=\angle CAB
. Следовательно, \angle PIJ=\angle CAB
. Аналогично, \angle PKJ=\angle CDB
.
Точка P
лежит внутри четырёхугольника ABCD
, поэтому
\angle PIJ\lt\angle LIJ=90^{\circ}~\mbox{и}~\angle PKJ\lt\angle LKJ=90^{\circ},
т. е. углы PIJ
и PKJ
острые. Из теоремы синусов следует, что два треугольника с общей стороной острыми углами, противолежащими этой стороне, имеют равные радиусы описанных окружностей тогда и только тогда, когда эти углы равны. Значит, описанные окружности треугольников PIJ
и PJK
равны тогда и только тогда, когда \angle PIJ=\angle PKJ
.
Из выпуклости четырёхугольника ABCD
также следует, что точки A
и D
лежат по одну сторону от прямой BC
, поэтому \angle CAB=\angle CDB
(т. е. \angle PIJ=\angle PKJ
) тогда и только тогда, когда четырёхугольник ABCD
вписанный. Таким образом, доказано, что из равенства описанных окружностей только двух треугольников PIJ
и PJK
следует вписанность четырёхугольника ABCD
.
Аналогично для описанных окружностей любых двух соседних треугольников из PIJ
, PJK
, PKL
и PLI
. Следовательно, все четыре окружности равны.
Из приведённых рассуждений следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 8, задача 3391 (2008, 483, 486), с. 522