13874. AD
и CE
— биссектрисы треугольника ABC
, в котором \angle ABC\gt60^{\circ}
. Докажите, что AE+CD\lt AC
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle ABC=\beta
. Тогда
\beta=\angle ABC\gt60^{\circ}~\Rightarrow~\cos\beta\lt\frac{1}{2}~\Rightarrow~\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\lt\frac{1}{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~a^{2}+c^{2}\lt b^{2}+ac~\Rightarrow~ab+bc+a^{2}+c^{2}\lt ab+bc+b^{2}+ac~\Rightarrow
\Rightarrow~(bc+c^{2})+(a^{2}+ab)\lt(ab+b^{2})+(ac+bc)~\Rightarrow
\Rightarrow~c(b+c)+a(a+b)\lt b(a+b)+c(a+b)~\Rightarrow
\Rightarrow~c(b+c)+a(a+b)\lt(a+b)(b+c)~\Rightarrow~\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}\lt1~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{bc}{a+b}+\frac{ab}{b+c}\lt b.
Из свойства биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) получаем, что
AE=\frac{bc}{a+b}~\mbox{и}~CD=\frac{ab}{b+c}.
Следовательно, последнее неравенство можно записать в виде
AE+CD\lt AC
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 2, задача 3, с. 98
Источник: Шведские математические олимпиады. — 2005-2006