13877. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника ABC
. Докажите, что проекции точки C_{1}
на прямые AC
, BC
, BB_{1}
и CC_{1}
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть P
, Q
, R
и S
— проекции точки C_{1}
на прямые AC
, BC
, BB_{1}
и CC_{1}
соответственно, а H
— ортоцентр треугольника ABC
.
Четырёхугольники APSC_{1}
и SHRC_{1}
вписаны в окружности с диаметрами AC_{1}
и HC_{1}
соответственно (см. задачу 1689). Значит,
\angle PSA=\angle PC_{1}A=90^{\circ}-\angle CAB,
\angle HSR=\angle HC_{1}R=90^{\circ}-\angle RC_{1}B=\angle RBA=
=90^{\circ}-\angle CAB=\angle PSA,
поэтому, точки P
, S
и R
лежат на одной прямой. Аналогично, точки S
, R
и Q
лежат на одной прямой. Следовательно, все четыре точки P
, Q
, R
и S
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 4, задача 5, с. 233
Источник: Белорусская республиканская математическая олимпиада. — 2006