13884. Точка A
лежит на окружности \Gamma
с центром O
и радиусом R
. Точка P
, отличная от A
, лежит на касательной t
к этой окружности, проведённой в точке A
. Прямая l
, отличная от t
, проходит через точку P
и пересекает окружность \Gamma
в точках B
и C
. Точка K
лежит на прямой AC
, причём PK\parallel AB
, а точка L
— на прямой AB
, причём PL\parallel AC
. Докажите, что KL\perp OP
.
Решение. Пусть точка B
лежит между C
и P
.
Из параллельности PL
и CK
получаем, что \angle LPB=\angle ACB
. Из теоремы об угле между касательной и хордой получаем, что \angle ACB=\angle LAP
. Значит, треугольники LBP
и LPA
с общим углом при вершине L
подобны по двум углам. Тогда
\frac{LP}{LA}=\frac{LB}{LP}~\Rightarrow~LP^{2}=LA\cdot LB.
Аналогично, треугольники KAP
и KPC
с общим углом при вершине K
подобны по двум углам. Тогда
\frac{KA}{KP}=\frac{KP}{KC}~\Rightarrow~KP^{2}=KA\cdot KC.
Следовательно (см. задачу 6391 и примечание к ней), точки K
и L
лежат на прямой, перпендикулярной OP
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 6, задача M3439, с. 401