13891. Точка T
расположена внутри треугольника ABC
, причём
\angle ATB=\angle BTC=\angle CTA=120^{\circ}.
Докажите, что прямые Эйлера треугольников ATB
, BTC
и ATC
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть M
— середина стороны BC
, G_{a}
— точка пересечения медиан треугольника BTC
, A'
— вершина равностороннего треугольника BA'C
, построенного вне треугольника ABC
. Поскольку
\angle BTC+\angle BA'C=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ},
четырёхугольник ABA'C
вписан в окружность. Обозначим её через \Gamma
. Продолжим отрезок AT
до пересечения с этой окружностью в точке A''
. Тогда
\angle BTA''=180^{\circ}-\angle BTA=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}=\angle BCA'=\angle BTA',
поэтому точка A''
совпадает с A'
. Значит, точки A
, T
и A'
лежат на одной прямой.
Пусть O_{a}
— центр окружности \Gamma
, а G_{a}
— точка пересечения медиан треугольника BTC
. Тогда O_{a}
— центр описанной окружности треугольника BTC
, а точка G_{a}
лежит на медиане TM
этого треугольника, причём
MG_{a}:G_{a}T=1:2=MO_{a}:O_{a}A'.
Следовательно, O_{a}G_{a}\parallel A'T
.
Пусть G
— точка пересечения прямых O_{a}G_{a}
и AM
. Тогда
MG:GA=MO_{a}:O_{a}A'=1:2,
поэтому G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, а так как G_{a}O_{a}
— прямая Эйлера треугольника BTC
(см. задачу 5044), то доказано, что прямая Эйлера треугольника BTC
проходит через точку G
пересечения медиан треугольника ABC
. Аналогично, прямые Эйлера треугольников ATB
и ATC
тоже проходят через точку G
. Отсюда следует утверждение задачи.