13893. Точки M
и N
лежат на стороне AB
выпуклого четырёхугольника ABCD
, а точки P
и Q
— на стороне CD
, причём AM=MN=NB
и CP=PQ=QD
. Докажите, что площадь каждого из четырёхугольников AMCP
и MNPQ
в три раза меньше площади четырёхугольника ABCD
.
Решение. Поскольку AM=MN
и CP=PQ
, то
S_{\triangle APM}=S_{\triangle MPN}~\mbox{и}~S_{\triangle CPM}=S_{\triangle PQM},
поэтому
S_{AMCP}=S_{\triangle APM}+S_{\triangle CPM}=S_{\triangle MPN}+S_{\triangle PQM}=S_{MNPQ}=\frac{1}{3}S_{ABCD}
(см. задачу 3205). Что и требовалось доказать.