13902. Около треугольника ABC
, в котором AC\lt BC
описана окружность \Gamma
. Точка E
— середина дуги ACB
, точка D
лежит на стороне BC
, причём BD=AC
. Луч ED
пересекает окружность \Gamma
в точке F
. Докажите что точки A
, B
, C
и F
— вершины равнобедренной трапеции или прямоугольника.
Решение. Вписанные углы CBE
и CAE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны, а так как BD=AC
и BE=AE
, то треугольники BDE
и ACE
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, ED=EC
, т. е. треугольник CED
равнобедренный. Тогда
\angle BFD=\angle BFE=\angle BAE=\angle BCE=\angle DCE=\angle EDC=\angle FBD,
поэтому треугольник DBF
тоже равнобедренный, BF=BD=AC
. Кроме того, BC=AF
(см. примечание к задаче 1678). Следовательно, ACBF
— равнобедренная трапеция или прямоугольник.