13904. Точка K
лежит на медиане AM
треугольника ABC
с острым углом при вершине A
, причём \angle BAC+\angle BKC=180^{\circ}
. Докажите, что AB\cdot KC=AC\cdot KB
.
Решение. На продолжении отрезка KM
за точку M
отложим отрезок MD=KM
. Тогда BDCK
— параллелограмм, поэтому \angle BDC=\angle AKB
. Значит,
\angle BDC+\angle BAC=\angle BKC+\angle BAC=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник ABDC
вписанный, и
\angle ABD+\angle ACD=180^{\circ}.
Тогда
\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot BD\sin\angle ABD}{\frac{1}{2}AC\cdot CD\sin(180^{\circ}-\angle ABD)}=\frac{AB\cdot BD}{AC\cdot CD},
а так как медиана разбивает треугольник на два равновеликих (см. задачу 3001), то
S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABM}+S_{\triangle DBM}=S_{\triangle ACM}+S_{\triangle CDM}=S_{\triangle ACD}.
По свойству параллелограмма BD=KC
и CD=KB
, следовательно,
AB\cdot KC=AB\cdot BD=AC\cdot CD=AC\cdot KB.
Что и требовалось доказать.