13905. Окружности \Omega_{1}
и \Omega_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Прямая, проходящая через точку B
, пересекает эти окружности в точках C
и E
соответственно. Вторая прямая, проходящая через точку B
, пересекает эти окружности в точках E
и F
соответственно. Точки M
и N
— середины отрезков CE
и DF
соответственно. Докажите, что треугольники ACD
, AEF
и AMN
подобны.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Обозначим
\angle CAD=\angle CBD=\angle EBF=\angle EAF=\theta,
\angle ACD=180^{\circ}-\angle ABD=\angle ABN=\angle ABF=\angle AEF=\varphi,
\angle ACB=\angle ADB=\omega,~\angle BFA=\angle BEA=\gamma.
1. Треугольники ACD
и AEF
подобны по двум углам, равным \theta
и \varphi
.
2. Докажем подобие треугольников ACD
и AMN
.
Треугольники ACE
и ADF
подобны по двум углам, равным \gamma
и \omega
. Их соответствующие медианы AM
и AN
образуют равные углы с соответствующими сторонами AC
и AD
, т. е. \angle CAM=\angle DAN
, поэтому
\angle MAN=\angle DAN-\angle DAM=\angle CAM-\angle DAM=
=\angle CAD=\theta=\angle FBN=180^{\circ}-\angle MBN.
Значит, четырёхугольник ANBM
вписанный (см. задачу 49). Тогда
\angle AMN=\varphi=\angle ACD.
Следовательно, треугольники ACD
и AMN
подобны по двум углам, равным \theta
и \varphi
.
Что и требовалось доказать. Аналогично для любого другого случая.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 8, задача 4, с. 517
Источник: Латвийские математические олимпиады. —