13907. Прямые, проходящие через точку P
, лежащую вне окружности с центром O
, касаются окружности в точках A
и B
. Луч PO
пересекает окружность в точках E
и D
, а хорду AB
— в точке M
(точка M
лежит между O
и P
). Серединный перпендикуляр к отрезку AM
пересекает окружность в точке C
, лежащей внутри треугольника ABP
. Прямые AC
и PM
пересекаются в точке G
. Дано, что BD\parallel AC
. Докажите, что G
— точка пересечения медиан треугольника ABP
.
Решение. Заметим, что M
— середина отрезка AB
и PM\perp AB
, а так как AG\parallel BD
, то прямоугольные треугольники AMG
и BMD
равны по катету и прилежащему острому углу. Значит,
AD=DB=BC,~AC=\frac{1}{2}AG=\frac{1}{2}DB.
Обозначим PE=a
и PD=b
. Тогда
PO=\frac{PE+PD}{2}=\frac{a+b}{2},
OA=OD=\frac{PD-PE}{2}=b-\frac{a+b}{2}=\frac{b-a}{2}.
По теореме о касательной и секущей
PA^{2}=PD\cdot PE=ab,
а так как AM
— высота прямоугольного треугольника PAO
, проведённая из вершины прямого угла, то
PM=\frac{PA^{2}}{PO}=\frac{ab}{\frac{a+b}{2}}=\frac{2ab}{a+b},
MD=PD-PM=b-\frac{2ab}{a+b}=\frac{b(b-a)}{a+b},
поэтому
AM^{2}=PA^{2}-PM^{2}=ab-\frac{4a^{2}b^{2}}{(a+b)^{2}}=\frac{ab(b-a)^{2}}{(a+b)^{2}}.
AD^{2}=AM^{2}+MD^{2}=\frac{ab(b-a)^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}(b-a)^{2}}{(a+b)^{2}}=\frac{b(b-a)^{2}}{a+b}.
Пусть AH
— высота равнобедренной трапеции ACBD
. Тогда
BH=\frac{BD+AC}{2},~DH=\frac{BD-AC}{2}
(см. задачу 69). Значит,
AB^{2}=BH^{2}+AH^{2}=BH^{2}+AD^{2}-DH^{2}=
=\left(\frac{BD+AC}{2}\right)^{2}+AD^{2}-\left(\frac{BD-AC}{2}\right)^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~4AM^{2}=AD^{2}+AD\cdot AC~\Rightarrow~4AM^{2}=AD^{2}+AD\cdot\frac{1}{2}AD~\Rightarrow
\Rightarrow~4AM^{2}=\frac{3}{2}AD^{2}~\Rightarrow~\frac{4ab(b-a)^{2}}{(a+b)^{2}}=\frac{3(b-a)^{2}\cdot b(a+b)}{(a+b)^{2}}~\Rightarrow
\Rightarrow~8a=3a+3b~\Rightarrow~b=\frac{5}{3}a.
Тогда
GM=MD=\frac{b(b-a)}{a+b}=\frac{\frac{5}{3}a\left(\frac{5}{3}a-a\right)}{a+\frac{5}{3}a}=\frac{5}{12}a,
PM=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2a\cdot\frac{5}{3}a}{a+\frac{5}{3}a}=\frac{5}{4}a.
Значит, PM=3GM
. При этом PM
— медиана треугольника ABP
. Следовательно, G
— точка пересечения медиан этого треугольника. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 8, задача 6, с. 524
Источник: Центральноамериканская математическая олимпиада. — 2007