13908. Дан четырёхугольник ABPC
, в котором диагональ BC
делит пополам диагональ AP
, а AP
— биссектриса угла BAC
. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, BP=p
и PC=q
. Докажите, что
\frac{p^{2}}{c}+\frac{q^{2}}{b}=b+c.
Решение. Обозначим AS=SP=x
. Пусть S
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника.
По теореме Стюарта (см. задачу 2663) для треугольников PCB
и ABC
получаем
BP^{2}\cdot SC+PC^{2}\cdot SB=SP^{2}\cdot BC+BC\cdot SC\cdot SB=
=AB^{2}\cdot SC+AC^{2}\cdot SB,
или
p^{2}\cdot SC+q^{2}\cdot SB=c^{2}\cdot SC+b^{2}\cdot SB.
Из свойства биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) следует, что
SC=\frac{ab}{b+c},~SB=\frac{ac}{b+c}.
Подставив эти выражения в полученное выше равенство, получим
\frac{p^{2}ab}{b+c}+\frac{q^{2}ac}{b+c}=\frac{c^{2}ab}{b+c}+\frac{b^{2}ac}{b+c},
или
p^{2}b+q^{2}c=c^{2}b+b^{2}c.
Разделив обе части этого равенства на bc
, получим
\frac{p^{2}}{c}+\frac{q^{2}}{b}=c+b.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 8, задача 3590 (2010, с. 548, 551), с. 547