13911. Дан равнобедренный треугольник ABC
(AB=AC
). Точки X
,Y
и Z
лежат на лучах AC
, BA
и AC
соответственно, причём AZ\gt AC
, AX=BY=CZ
. Докажите, что:
а) проекция точки X
на прямую BC
есть середина отрезка YZ
;
б) если прямые BZ
и YC
пересекаются в точке W
, то треугольники CYA
и CWZ
равновелики.
Решение. Рассмотрим случай, когда точка X
не совпадает с C
(иначе утверждение очевидно).
а) Пусть D
— середина основания BC
, а прямые YZ
и BC
пересекаются в точке M
. По теореме Менелая для треугольника AYZ
и прямой BC
получаем
1=\frac{AB}{BY}\cdot\frac{YM}{MZ}\cdot\frac{ZC}{CA}=\frac{YM}{MZ},
поэтому YM=MZ
, т. е. M
— середина отрезка YZ
.
По теореме Менелая для треугольника ABC
и прямой ZY
получаем
\frac{AY}{YB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CZ}{ZA}=1~\Leftrightarrow~\frac{BM}{MC}=\frac{ZA}{AY}=\frac{AC+ZC}{AB-BY}=\frac{AC+ZC}{AC-ZC}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{BM+MC}{MC}=\frac{(AC+ZC)+(AC-ZC)}{AC-ZC}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{BM+MC}{MC}=\frac{2AC}{AC-AX}~\Leftrightarrow~\frac{BC}{MC}=\frac{2AC}{XC}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{2DC}{MC}=\frac{2AC}{XC}~\Leftrightarrow~\frac{DC}{MC}=\frac{AC}{XC}.
Из последнего равенства получаем, что XM\parallel AD
. Значит, XM\perp BC
. Отсюда следует утверждение а).
б) Пусть прямые YC
и BZ
пересекаются в точке W
. Рассмотрим треугольник YBZ
. Его чевианы BM
, YW
и ZA
пересекаются в точке C
, поэтому по теореме Чевы
\frac{YA}{AB}\cdot\frac{BW}{WZ}\cdot\frac{ZM}{MY}=1,
а так как MY=ZM
, то \frac{YA}{AB}=\frac{WZ}{BW}
. Значит, AW\parallel YZ
. Тогда AYZW
— трапеция с основаниями AW
и YZ
, диагонали которой пересекаются в точке C
. Следовательно (см. задачу 3017), треугольники CYA
и CWZ
равновелики. Что и требовалось доказать.