13918. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
пересекаются в точках M
и N
. Прямая AB
касается этих окружностей в точках A
и B
соответственно, причём эта прямая ближе к точке M
, чем к N
. Точки C
и D
симметричны точкам соответственно A
и B
относительно M
. Окружность, описанная около треугольника DCM
, пересекает окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
в точках E
и F
соответственно. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников MEF
и MAB
равны.
Решение. Диагонали AC
и BD
точкой пересечения M
делятся пополам, поэтому ABCD
— параллелограмм. Пусть прямые MN
и AB
пересекаются в точке P
. Тогда P
— середина отрезка AB
(см. задачу 444). Значит, AD\parallel PM\parallel BC
.
По теореме об угле между касательной и хордой \angle MAB=\angle AEM
и \angle MBA=\angle BFM
, поэтому
\angle DEM=\angle DCM=\angle MAB=\angle AEM,
\angle CFM=\angle MDC=\angle MBA=\angle BFM.
Следовательно, точки A
, D
, C
лежат на одной прямой, и точки B
, C
, F
лежат на одной прямой.
Трапеции DEFC
, AENM
и BFNM
вписаны в окружности, поэтому они равнобедренные. Тогда
DC=EF,~EN=AM=MC,~NF=BM=MD.
Значит, треугольники NEF
, MCD
и MAB
равны по трём сторонам, поэтому радиусы их описанных окружностей равны. При этом треугольники MCD
и MEF
вписаны в одну и ту же окружность. Отсюда следует утверждение задачи.