13919. Пусть U
— одна из двух точек пересечения данных окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
. Докажите, что существует бесконечно много пар прямых, проходящих через точку U
и пересекающих окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
в вершинах вписанного четырёхугольника.
Решение. Предположим, что ABCD
— один из таких четырёхугольников (см. рис.), а U'
— вторая точка пересечения окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
. При этом точка A
лежит на окружности \Gamma_{1}
, а точка C
— на окружности \Gamma_{2}
. Тогда
\angle UU'C=\angle UBC=\angle DBC=\angle DAC=\angle DAU=\angle DU'U.
Отсюда вытекает следующее построение. Через точку U
проводим прямую, пересекающую окружность \Gamma_{1}
в точке A
, а окружность \Gamma_{2}
— в точке C
. При этом точка U
должна лежать между A
и C
. Тогда D
— точка пересечения окружности \Gamma_{1}
с лучом, симметричным лучу U'C
относительно прямой UU'
. Тогда,
\angle DAC=\angle DAU=\angle DU'U=\angle CU'U=\angle CBU=\angle CBD.
Значит (см. задачу 12), четырёхугольник ABCD
вписанный.
Поскольку существует бесконечно много прямых AC
, удовлетворяющих указанному выше условию, то таких четырёхугольников ABCD
, а значит, и пар прямых AC
и BD
, также бесконечно много.