13924. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине A
провели высоту AD
, а в треугольнике ABD
провели биссектрису BK
. Оказалось, что \angle ACK=2\angle DCK
. Докажите, что KC=2AD
.
Решение. Из подобия прямоугольных треугольников ADB
и CDA
получаем, что \frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BA}
.
Пусть E
— точка, симметричная K
относительно прямой BC
. Тогда EC=KC
. Применив свойство биссектрисы треугольника (см. задачу 1509), получим
2\cdot\frac{AD}{AC}=2\cdot\frac{BD}{BA}=2\cdot\frac{KD}{KA}=\frac{KE}{KA}=\frac{EC}{AC}=\frac{KC}{AC}.
Следовательно, KC=2AD
.