13927. На стороне AC
треугольника ABC
отметили точки F
и L
, причём AF=LC\lt\frac{1}{2}AC
. Оказалось, что
AB^{2}+BC^{2}=AL^{2}+LC^{2}.
Найдите \angle FBL
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle FBL=\theta
. По теореме косинусов
BL^{2}+BF^{2}-FL^{2}=2BL\cdot BF\cos\theta.
Из формулы для медианы треугольника (см. задачу 4014) следует, что
2(AB^{2}+BC^{2})-AC^{2}=2(BL^{2}+BF^{2})-FL^{2},
откуда, учитывая, что
AB^{2}+BC^{2}=AL^{2}+LC^{2}~\mbox{и}~AC=AL+LC,
получим
2(AL^{2}+LC^{2})-(AL+LC)^{2}=2(BL^{2}+BF^{2})-FL^{2}=
=2(BL^{2}+BF^{2}-FL^{2})+FL^{2}=2\cdot2BL\cdot BF\cos\theta+FL^{2},
а так как
AL-LC=AL-AF=FL,
то
FL^{2}=(AL-LC)^{2}=2(AL^{2}+LC^{2})-(AL+LC)^{2}=
=4BL\cdot BF\cos\theta+FL^{2},
откуда BL\cdot BF\cos\theta=0
. Значит, \cos\theta=0
. Следовательно,
\angle FBL=\theta=90^{\circ}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2013, № 3, задача OC65, с. 130
Источник: Марокканские математические олимпиады. — 2011