13957. Точки D
и E
лежат на боковых сторонах соответственно AC
и BC
равнобедренного треугольника ABC
, а точка F
пересечения биссектрис углов DEB
и ADE
лежит на основании AB
. Докажите, что F
— середина AB
.
Решение. Пусть K
, L
и M
— основания перпендикуляров, опущенных из точки F
на прямые BC
, ED
и AC
соответственно. Точка F
лежит на биссектрисе угла BED
, поэтому она равноудалена от его сторон (см. задачу 1138), т. е. FK=FL
, Аналогично, FM=FL
. Тогда FK=FM
, т. е. точка F
равноудалена от сторон угла ABC
. Значит (см. задачу 1138), эта точка лежит на его биссектрисе. Биссектриса равнобедренного треугольника с основанием AB
является медианой, следовательно, F
— середина AB
. Что и требовалось доказать.