13961. В пятиугольнике ABCDE
углы B
и D
прямые. Докажите, что периметр треугольника ACE
не меньше удвоенной диагонали BD
Решение. Отметим середины M
и N
диагоналей AC
и CE
соответственно. Тогда BM
и DN
— медианы прямоугольных треугольников ABC
и CDE
, проведённые из вершин прямых углов, а MN
— средняя линия треугольника ACE
, поэтому AC=2BM
, CE=2BM
(см. задачу 1109) и AE=2MN
, а так как
BD\leqslant BM+MN+DN,
то
2BD\leqslant2BM+2MN+2DN=AC+AE+CE.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2015, № 1, задача CC102, с. 6