13969. Обозначим через m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
медианы треугольника, проведённые к сторонам, равным a
, b
и c
соответственно, R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что
\frac{1}{m_{a}}+\frac{1}{m_{b}}+\frac{1}{m_{c}}\leqslant\frac{R}{2r^{2}}.
Решение. Пусть p
— полупериметр треугольника, S
— площадь, а h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— высоты, опущенные на стороны, равные a
, b
и c
соответственно. Тогда
\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{a}{2S}+\frac{b}{2S}+\frac{c}{2S}=\frac{p}{S}=\frac{1}{r}
(см. задачу 452), а так как r\leqslant\frac{1}{2}R
(см. задачу 3587), то
\frac{1}{m_{a}}+\frac{1}{m_{b}}+\frac{1}{m_{c}}\leqslant\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{r}\leqslant\frac{R}{2r^{2}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2016, № 1, задача 4009, с. 419