13972. Пятиугольник ABCDE
вписан в окружность \Gamma
. Прямая, проведённая через точку T
пересечения диагоналей AD
и BE
параллельно стороне CD
, пересекает AB
и CE
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что описанная окружность \gamma
треугольника AXY
касается окружности \Gamma
.
Решение. Вписанные в окружность \Gamma
углы AEC
и ADC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle AEC=\angle ADC
. Прямые XY
и CD
параллельны, поэтому \angle ADC=\angle DTY
. Кроме того,
\angle EAT=\angle EAD=\angle ECD=\angle TYC=180^{\circ}-\angle EYT,
значит, ATYE
— вписанный четырёхугольник.
Через точку A
проведём касательную к окружности \Gamma
. Пусть W
— точка этой касательной, лежащая с точкой B
по одну сторону от прямой AD
. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
\angle WAB=\angle AEB=\angle AET,
а так как точки A
, T
, Y
и E
лежат на одной окружности, то
\angle AET=\angle AYT=\angle AYX.
Значит (см. задачу 144), прямая AW
— касательная к окружности \gamma
, т. е. эта прямая — общая касательная окружностей \Gamma
и \gamma
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2016, № 3, задача OC212, с. 105
Источник: Румынские математические олимпиады. — 2013