13977. Рассматривается трапеция ABCD
с основаниями AB\lt CD
. Прямые AC
и BD
пересекаются в точке E
, а прямые AD
и BC
— в точке F
. Построены параллелограммы AEDK
и BECL
. Докажите, что прямая EF
проходит через середину отрезка KL
.
Решение. По замечательному свойству трапеции (см. задачу 1513) точки E
, F
и середины U
и V
оснований соответственно AB
и CD
лежат на одной прямой.
Кроме того,
\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CL}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{KL}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}.
Значит, векторы \overrightarrow{KL}
и \overrightarrow{AB}
коллинеарны. Тогда KL\parallel AB\parallel CD
.
Пусть прямые KA
и LB
пересекаются в точке M
. Поскольку MA\parallel BE
и MB\parallel AE
, четырёхугольник AMBE
— параллелограмм, поэтому середина U
его диагонали AB
— также середина диагонали ME
. Значит, точка M
тоже лежит на прямой EF
. Применив замечательное свойство трапеции к трапеции ABLK
, получим, что прямая MU
(т. е. прямая EF
) проходит через середину основания KL
. Что и требовалось доказать.