13985. Точки
H
и
O
— соответственно ортоцентр и центр описанной окружности треугольника
ABC
. Точка
K
— середина отрезка
AH
. Точка
P
лежит на
AC
, причём
\angle BKP=90^{\circ}
. Докажите, что
OP\parallel BC
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку
O
параллельно
BC
, пересекает
AC
в точке
D
, а
E
и
F
— проекции точек соответственно
D
и
O
на
BC
. Докажем, что точка
D
совпадает с
P
. Для этого достаточно доказать, что
KD\perp BK
.
Поскольку
AH=2OE
(см. задачу 1257) и
AH\parallel OE\parallel DF
, то
AK=KH=DF
, поэтому
AKFD
и
KHFD
— параллелограммы. Значит,
AD\parallel KF
и
HF\parallel KD
, а так как
BH\perp AD
то
BH\perp KF
. Кроме того
KH\perp BF
, поэтому
H
— ортоцентр треугольника
BKF
, и
HF\perp BK
. Значит,
KD\perp BK
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2018, № 1, задача OC303, с. 17
Источник: Иранские математические олимпиады. — 2015