13993. Точка I
— центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Прямые AI
, BI
и CI
вторично пересекают описанные окружности треугольников BIC
, AIC
и AIB
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Докажите, что \overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IB_{1}}+\overrightarrow{IC_{1}}=\overrightarrow{0}
тогда и только тогда, когда треугольник ABC
равносторонний.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
. Тогда (см. задачу 4770)
\angle A_{1}IC=180^{\circ}-\angle AIB=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+\frac{\beta}{2}\right)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},
а так как
\angle IA_{1}C=\angle IBC=\frac{\beta}{2},
то
\angle ICA_{1}=180^{\circ}-\angle A_{1}IC-\angle IA_{1}C=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}+\frac{\beta}{2}=90^{\circ}.
Аналогично, \angle ICB_{1}=90^{\circ}
, поэтому точка C
лежит на стороне A_{1}B_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Аналогично, точки A_{1}
и B_{1}
лежат на сторонах соответственно B_{1}C_{1}
и A_{1}C_{1}
этого треугольника, причём A_{1}A
, B_{1}B
и C_{1}C
— высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, а точка I
— его ортоцентр.
Пусть G_{1}
— точка пересечения медиан треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда
\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IB_{1}}+\overrightarrow{IC_{1}}=3\overrightarrow{IG_{1}}
(см. задачу 4505). Значит, левая часть этого равенства равна \overrightarrow{0}
тогда и только тогда, когда точка I
совпадает с G_{1}
, т. е. тогда и только тогда, когда треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
равносторонний (см. задачу 1335). В то же время, треугольник ABC
равносторонний тогда и только тогда, когда
\angle AIB=\angle BIC=\angle AIC=120^{\circ},
а это равносильно тому, что
\angle BC_{1}A=\angle CA_{1}B=\angle AB_{1}C=60^{\circ},
а это верно тогда и только тогда, когда треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
равносторонний.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2018, № 7, задача 4268, с. 312