14008. В правильной четырёхугольной призме боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 8. Найдите площадь сечения, проведённого через середины двух смежных сторон основания и наиболее удалённую от них вершину другого основания.
Ответ.
\frac{154\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Пусть
M
и
N
— середины сторон соответственно
AB
и
AD
основания
ABCD
правильной четырёхугольной призмы
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда
C_{1}
— наиболее удалённая от
M
и
N
вершина призмы.
Пусть прямая
MN
пересекает продолжения рёбер
CB
и
CD
в точках
P
и
Q
соответственно, прямые
C_{1}P
и
BB_{1}
, лежащие в плоскости грани
BCC_{1}B_{1}
, пересекаются в точке
E
, прямые
C_{1}Q
и
DD_{1}
, лежащие в плоскости грани
CDD_{1}C_{1}
, пересекаются в точке
F
, а отрезки
MN
и
AC
пересекаются в точке
K
. Тогда сечение, о котором говорится в условии, — пятиугольник
NMEC_{1}F
. Его ортогональная проекция на плоскость основания
ABC
— пятиугольник
NMBCD
. Пусть
S'
— его площадь,
S
— площадь сечения, а
\varphi
— угол между плоскостью сечения и плоскостью грани
ABCD
.
Отрезок
MN
— средняя линия треугольника
BAD
, поэтому
S_{\triangle MAN}=\frac{1}{4}S_{\triangle BAD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot8^{2}=8.

Тогда
S'=S_{ABCD}-S_{\triangle MAN}=64-8=56.

Поскольку
CK\perp BD
, то по теореме о трёх перпендикулярах
C_{1}K\perp MN
, значит, угол
CKC_{1}
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью сечения с плоскостью основания. Из прямоугольного треугольника
CKC_{1}
находим, что
\tg\varphi=\tg\angle CKC_{1}=\frac{CC_{1}}{CK}=\frac{CC_{1}}{\frac{3}{4}AC}=\frac{7}{\frac{3}{4}\cdot8\sqrt{2}}=\frac{7}{6\sqrt{2}}.

Тогда
\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\varphi}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{49}{72}}}=\frac{6\sqrt{2}}{11}.

Следовательно (см. задачу 8093),
S=\frac{S'}{\cos\varphi}=\frac{56}{\frac{6\sqrt{2}}{11}}=\frac{154\sqrt{2}}{3}.

Источник: Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Геометрия. 11 класс: Задачник для общеобразовательных учебных заведений с углублённым и профильным изучением математики. — 2-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — № 2.039, с. 3