1401. Около треугольника ABC
описана окружность. Точки K
, M
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из точки P
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно. Лучи AP
, BP
и CP
пересекают окружность в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Докажите, что треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
подобен треугольнику KMB
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Из точек M
и K
отрезок CP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CP
. Тогда
\angle AA_{1}C_{1}=\angle ACC_{1}=\angle MCP=\angle MKP.
Аналогично \angle AA_{1}B_{1}=\angle NKP
, поэтому
\angle C_{1}A_{1}B_{1}=\angle AA_{1}C_{1}+\angle AA_{1}B_{1}=\angle MKP+\angle NKP=\angle MKN.
Аналогично \angle A_{1}B_{1}C_{1}=\angle KMN
. Следовательно, треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
подобен треугольнику KMB
по двум углам.
Аналогично для всех остальных случаев.
Примечание. 1. Разбора случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы (см. задачу 873).
2. См. также статью И.А.Кушнира «О двух формулах Эйлера», Квант, 1992, N12, с.43-46.