14012. Ребро SA
тетраэдра SABC
перпендикулярно плоскости ABC
. Точки K
и M
— середины рёбер BC
и AC
соответственно. Найдите расстояние между прямыми SK
и BM
, если SA=5
, AC=16
, AB=BC
.
Ответ. \frac{20}{13}
.
Решение. Медиана BM
равнобедренного треугольника ABC
является его высотой, поэтому BM\perp AC
. Прямая BM
перпендикулярна плоскости ASC
, так как эта прямая перпендикулярна пересекающимся прямым AC
и SA
плоскости ASC
. Пусть KN
— перпендикуляр к AC
. Тогда KN
— средняя линия прямоугольного треугольника BMC
, поэтому MN=\frac{1}{2}CM=4
и KN\parallel BM
. Значит, KN
— тоже перпендикуляр к плоскости ASC
, а SN
— ортогональная проекция прямой SK
на плоскость ASC
, перпендикулярную прямой BM
. Следовательно, расстояние d
между скрещивающимися прямыми SK
и BM
равно расстоянию от точки M
до прямой SN
(см. задачу 8406), т. е. высоте MH
треугольника SMN
.
Из прямоугольного треугольника ASN
находим, что
SN=\sqrt{SA^{2}+AN^{2}}=\sqrt{SA^{2}+(AM+MN)^{2}}=\sqrt{5^{2}+(8+4)^{2}}=13.
Следовательно (см. задачу 1967),
d=MH=\frac{PM\cdot SA}{SN}=\frac{4\cdot5}{13}=\frac{20}{13}.