14013. Ребро куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равно a
. Точка M
— середина ребра CC_{1}
. Найдите расстояние между прямыми DA_{1}
и MD_{1}
.
Ответ. \frac{2a}{3}
.
Решение. Прямая DA_{1}
перпендикулярна плоскости прямоугольника ABC_{1}D_{1}
, так как DA_{1}\perp AD_{1}
и DA_{1}\perp AB
. Пусть O
— центр грани ADD_{1}A_{1}
, а P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на прямую BC_{1}
. Тогда MP\parallel CB_{1}\parallel DA_{1}
, поэтому MP
— тоже перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABC_{1}D_{1}
, а PD_{1}
— ортогональная проекция прямой MD_{1}
на эту плоскость. Следовательно, расстояние d
между скрещивающимися прямыми DA_{1}
и MD_{1}
равно расстоянию от точки O
до прямой PD_{1}
(см. задачу 8406), т. е. высоте OH
равнобедренного треугольника OPD_{1}
.
Пусть O_{1}
— центр грани BCC_{1}B_{1}
. Тогда MP
— средняя линия треугольника CO_{1}C_{1}
, поэтому
C_{1}P=PO_{1}=\frac{1}{2}C_{1}O_{1}=\frac{1}{4}BC_{1}=\frac{a\sqrt{2}}{4},
OP=PD_{1}=\sqrt{C_{1}D_{1}^{2}+C_{1}P^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{8}a^{2}}=\frac{3a}{2\sqrt{2}}.
Следовательно (см. задачу 1967),
d=OH=\frac{OD_{1}\cdot C_{1}D_{1}}{PD_{1}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a}{\frac{3a}{2\sqrt{2}}}=\frac{2a}{3}.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 11.47, с. 136