14015. Сторона AC
треугольника ABC
лежит в плоскости \alpha
, а расстояние от точки B
до плоскости \alpha
равно 5. Ортогональные проекции отрезков AB
и BC
на плоскость \alpha
равны соответственно 12 и 15, AC=9
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{117}{2}
.
Решение. Пусть M
— основание перпендикуляра, опущенного из точки B
на плоскость \alpha
. Треугольник AMB
прямоугольный, с прямым углом при вершине C
, так как
AC^{2}+CM^{2}=9^{2}+12^{2}=15^{2}=AM^{2}
(см. задачу 1972).
Из прямоугольного треугольника BMC
находим, что
BC=\sqrt{BM^{2}+CM^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13.
Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что треугольник ABC
тоже прямоугольный с прямым углом при вершине C
. Значит,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot9\cdot13=\frac{117}{2}.