14017. Основание пирамиды MABCD
— ромб ABCD
с острым углом BCD
, равным 60^{\circ}
, и высотой 12. Вершина M
равноудалена от прямых AD
, BC
и от вершин B
и C
. Найдите боковые рёбра пирамиды, если её высота равна 1.
Ответ. \sqrt{85}
, \sqrt{85}
, \sqrt{37}
, \sqrt{229}
.
Решение. Геометрическое место точек плоскости основания пирамиды, равноудалённых от прямых AD
и BC
, — прямая l
, проходящая через середины отрезков AB
и CD
параллельно этим прямым. Значит, точка M
лежит в плоскости \alpha
, проходящей через прямую l
перпендикулярно плоскости основания пирамиды. В то же время, точка M
равноудалена от точек B
и C
, значит, она лежит в плоскости \beta
, проходящей через середину отрезка BC
перпендикулярно BC
(см. задачу 8171). Плоскость \beta
тоже перпендикулярна плоскости основания пирамиды, так как плоскость основания проходит через прямую BC
, перпендикулярную \beta
(см. задачу 7710). Следовательно, точка M
лежит на прямой пересечения плоскостей \alpha
и \beta
, причём эта прямая перпендикулярна плоскости основания пирамиды (см. задачу 9104). Значит, на этой прямой лежит высота MH
пирамиды.
Точка H
лежит на высоте DP
равностороннего треугольника BCD
и делит DP
пополам, поэтому DH=HP=6
, а так как 12=DP=\frac{BC\sqrt{3}}{2}
, то BC=8\sqrt{3}
. Из прямоугольного треугольника BPH
находим, что
BH^{2}=BP^{2}+PH^{2}=(4\sqrt{3})^{2}+6^{2}=84.
Тогда CH^{2}=BH^{2}=84
.
Поскольку
\angle ADH=\angle ADB+\angle BDH=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ},
треугольник ADH
тоже прямоугольный, поэтому
AH^{2}=AD^{2}+DH^{2}=(8\sqrt{3})^{2}+6^{2}=228.
Наконец, из прямоугольных треугольников MHB
, MHD
и MHA
находим, что
MB=\sqrt{BH^{2}+MH^{2}}=\sqrt{84+1}=\sqrt{85}
(тогда MC=MB=\sqrt{85}
),
MD=\sqrt{DH^{2}+MH^{2}}=\sqrt{6^{2}+1}=\sqrt{37},
MA=\sqrt{AH^{2}+MH^{2}}=\sqrt{228+1}=\sqrt{229}.
Источник: Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Геометрия. 11 класс: Задачник для общеобразовательных учебных заведений с углублённым и профильным изучением математики. — 2-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — № 2.225, с. 64