14018. Два боковых ребра треугольной пирамиды и заключённая между ними сторона основания равны соответственно 6, 9, 9. Высота пирамиды проходит через центр вписанной в основание окружности и равна 3\sqrt{3}
. Найдите неизвестные стороны основания.
Ответ. 7 и 12.
Решение. Пусть O
— центр окружности радиуса r
, вписанной в основание ABC
треугольной пирамиды ABCD
, AB=AD=9
, BD=6
, а высота DO=3\sqrt{3}
. Пусть C_{1}
, B_{1}
и A_{1}
— точки касания окружности со сторонами AB
, AC
и BC
соответственно. Обозначим AB_{1}=AC_{1}=t
. Тогда BA_{1}=BC_{1}=9-t
.
Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что DC_{1}\perp AB
. Тогда
BD^{2}-BC_{1}^{2}=AD^{2}-AC_{1}^{2},~\mbox{или}~36-(9-t)^{2}=81-t^{2},
откуда t=7
. Значит,
CB_{1}=AC_{1}=7,~BA_{1}=BC_{1}=2,
DC_{1}^{2}=BD^{2}-BC_{1}^{2}=36-4=32,
r=OC_{1}=\sqrt{DC_{1}^{2}-DO^{2}}=\sqrt{32-27}=\sqrt{5}.
Пусть полупериметр треугольника ABC
равен p
, а CB_{1}=CA_{1}=x
. Тогда p=x+9
, поэтому (см. задачи 452 и 2730)
S_{\triangle ABC}=rp=\sqrt{5}(x+9),
S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=\sqrt{(x+9)\cdot x\cdot7\cdot2}.
Значит,
\sqrt{5}(x+9)=\sqrt{(x+9)\cdot x\cdot7\cdot2},~\sqrt{5}\cdot\sqrt{x+9}=\sqrt{14x},~5(x+9)=14x,
откуда x=5
. Следовательно,
AC=AB_{1}+B_{1}C=7+x=12,
BC=BA_{1}+A_{1}C=2+x=7.