14019. Найдите боковое ребро правильной треугольной пирамиды, если её высота равна \sqrt{7}
, а высота боковой грани, опущенная на боковое ребро, равна \sqrt{5}
.
Ответ. 3.
Решение. Пусть сторона основания ABC
правильной треугольной пирамиды SABC
равна a
, высота SO
равна \sqrt{7}
, высота AH
грани ASB
равна \sqrt{5}
, а точка M
— середина ребра AB
. Тогда (см. задачу 1963)
OB=\frac{a}{\sqrt{3}},~OM=\frac{a}{2\sqrt{3}},
SB=\sqrt{SO^{2}+OB^{2}}=\sqrt{7+\frac{a^{2}}{3}},~SM=\sqrt{SO^{2}+OM^{2}}=\sqrt{7+\frac{a^{2}}{12}}.
Записав двумя способами удвоенную площадь треугольника ASB
, получим
AB\cdot SM=SB\cdot AH,~\mbox{или}~a\sqrt{7+\frac{a^{2}}{12}}=\sqrt{7+\frac{a^{2}}{3}}\cdot\sqrt{7}.
После возведения в квадрат и очевидных упрощений, получим уравнение
3a^{4}+64a^{2}-140=0,
из которого находим, что a^{2}=6
. Следовательно,
SB=\sqrt{7+\frac{a^{2}}{3}}=\sqrt{7+2}=3.
Источник: Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Геометрия. 11 класс: Задачник для общеобразовательных учебных заведений с углублённым и профильным изучением математики. — 2-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — № 2.240, с. 66