14022. Шар радиуса R
касается всех рёбер куба. Найдите радиус шара, касающегося данного шара и плоскостей трёх граней куба, имеющих общую вершину.
Ответ. \frac{R(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}-\sqrt{6}+2)}{4}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
данный куб с ребром a
. Центр данного шара совпадает с центром O
куба, а радиус R
равен расстоянию от точки O
до середины ребра, т. е. \frac{a\sqrt{2}}{2}
.
Пусть O_{1}
— центр шара искомого радиуса r
, касающегося данного шара и плоскостей граней ABCD
, AA_{1}B_{1}B
и AA_{1}D_{1}D
. Расстояние между центрами шаров, касающихся внешним образом, равно сумме их радиусов (см. задачу 9166), значит,
OO_{1}=R+r=\frac{a\sqrt{2}}{2}+r.
Тогда
AO_{1}=AO-OO_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a\sqrt{2}}{2}-r.
Пусть H
— центр грани ABCD
. Шар радиуса r
касается плоскости этой грани в точке P
, лежащей на диагонали AC
квадрата ABCD
, поэтому O_{1}P=r
. Из подобия прямоугольных треугольников APO_{1}
и AHO
получаем
\frac{O_{1}P}{O_{1}A}=\frac{OH}{OA}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}},
или
\frac{r}{\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a\sqrt{2}}{2}-r}=\frac{1}{\sqrt{3}},
откуда находим, что
r=\frac{a(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{2(\sqrt{3}+1)}=\frac{a(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)}{4}=
=\frac{R\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)}{4}=\frac{R(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}-\sqrt{6}+2)}{4}.