14026. Расстояние от центра описанной около правильной пирамиды сферы до основания пирамиды в два раза меньше радиуса сферы. Найдите угол между боковым ребром и высотой пирамиды.
Ответ. 30^{\circ}
или 60^{\circ}
.
Решение. Пусть S
— вершина правильной пирамиды, SH
— высота, SA
— боковое ребро, O
— центр описанной сферы радиуса R
, а угол между боковым ребром и высотой пирамиды равен \alpha
.
Рассмотрим сечение пирамиды и её описанной сферы плоскостью ASH
— окружность радиуса R
с центром O
на прямой SH
, перпендикулярной AH
.
Пусть луч SH
пересекает окружность в точке S_{1}
. Тогда SS_{1}
— диаметр окружности, поэтому \angle SAS_{1}=90^{\circ}
, а отрезок AH
— высота прямоугольного треугольника SAS_{1}
, проведённая из вершины прямого угла. Значит (см. задачу 2728) AH^{2}=SH\cdot HS_{1}
.
Если центр O
сферы лежит внутри пирамиды, т. е. точка O
лежит на отрезке SH
, то
HS_{1}=OH=\frac{R}{2},~SH=SO+OH=R+\frac{R}{2}=\frac{3R}{2},
AH^{2}=SH\cdot HS_{1}=\frac{3R}{2}\cdot\frac{R}{2}=\frac{3R^{2}}{4},
откуда AH=\frac{R\sqrt{3}}{2}
. Значит,
\tg\alpha=\tg\angle ASH=\frac{AH}{SH}=\frac{\frac{R\sqrt{3}}{2}}{\frac{3R}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Следовательно, \alpha=30^{\circ}
.
Если центр сферы лежит вне пирамиды, т. е. точка O
лежит на отрезке HS_{1}
, то
SH=OH=\frac{R}{2},~HS_{1}=OH+OS_{1}=\frac{R}{2}+R=\frac{3R}{2},
AH^{2}=SH\cdot HS_{1}=\frac{R}{2}\cdot\frac{3R}{2}=\frac{3R^{2}}{4},
откуда AH=\frac{R\sqrt{3}}{2}
. Значит,
\tg\alpha=\tg\angle ASH=\frac{AH}{SH}=\frac{\frac{R\sqrt{3}}{2}}{\frac{R}{2}}=\sqrt{3}.
Следовательно, \alpha=60^{\circ}
.