14034. Пусть M
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника, вершины которого — середины сторон четырёхугольника ABCD
, а O
— произвольная точка. Докажите, что
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}).
Решение. Сложив четыре очевидных равенства
\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM},~\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM},~\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CM},\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DM},
получим
4\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{DM})=
=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{OD}
(см. задачу 14033). Следовательно,
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}).
Примечание. Утверждение верно и в случае, когда точки A
, B
, C
и D
не лежат в одной плоскости.