14033. Пусть M
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника, вершины которого — середины сторон четырёхугольника ABCD
. Докажите, что
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}.
Решение. Пусть K
, L
, P
и Q
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
четырёхугольника ABCD
. Тогда KLPQ
— параллелограмм (см. задачу 1204). Значит, \overrightarrow{MK}
и \overrightarrow{MP}
— противоположные векторы. Следовательно (см. задачу 4500),
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})=
=2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{MQ}=2(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MQ})=2\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Примечание. Утверждение верно и в случае, когда точки A
, B
, C
и D
не лежат в одной плоскости.