14040. Рёбра AB
и CD
тетраэдра перпендикулярны, каждое из них равно 3. На ребре AB
отметили точки M
и N
, а на ребре CD
— точки P
и K
, причём AM=NB=CP=KD
. Найдите расстояние между серединами отрезков MP
и NK
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Пусть X
и Y
— середины отрезков MP
и NK
соответственно. Тогда (см. задачу 4504)
\overrightarrow{XY}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PK}).
Кроме того,
|\overrightarrow{MN}|=MN=AB-AM-NB=3-1-1=1,~
|\overrightarrow{PK}|=PK=CD-CP-KD=3-1-1=1,
а так как MN\perp PK
, то \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{PK}=0
(см. задачу 4900). Значит,
\overrightarrow{XY}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PK}^{2})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{MN}^{2}+\overrightarrow{PK}^{2}+2\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{PK})=
=\frac{1}{4}(MN^{2}+PK^{2}+0)=\frac{1}{4}\cdot2=\frac{1}{2}
(см. задачу 4900). Следовательно,
XY=\sqrt{\overrightarrow{XY}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.