14044. Точка M
— середина ребра AB
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Точка N
принадлежит ребру BC
и делит его в отношении 1:3
, считая от точки B
. Найдите угол между плоскостями AB_{1}N
и DC_{1}M
.
Ответ. \arccos\frac{8}{3\sqrt{34}}=\arccos\frac{4\sqrt{34}}{51}
.
Решение. Выберем систему координат Bxyz
, взяв за начало вершину B
и направив ось Bx
по лучу BC
, ось By
— по лучу BA
, ось Bz
— по лучу BB_{1}
. Пусть ребро куба равно 4. Тогда BN=2
и BM=2
.
Пусть E
— точка пересечения прямых DM
и BC
, а F
— точка пересечения прямых EC_{1}
и BB_{1}
. Из равенства прямоугольных треугольников BME
и AMD
получаем, что BE=AD=4
. Тогда BF
— средняя линия треугольника ECC_{1}
, поэтому BF=\frac{1}{2}CC_{1}=2
.
Тогда уравнения плоскостей соответственно AB_{1}N
и DC_{1}M
имеют вид
\frac{x}{3}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1,~-\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1
(уравнения плоскостей в отрезках, см. задачу 7564), или
4x+3y+3z-12=0,~x-2y-2z+4=0.
Тогда \overrightarrow{n_{1}}=(4;3;3)
и \overrightarrow{n_{2}}=(1;-2;-2)
— векторы нормалей этих плоскостей, а косинус угла \varphi
между плоскостями можно найти по формуле
\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}|}{|\overrightarrow{n_{1}}|\cdot|\overrightarrow{n_{2}}|}=\frac{|4\cdot1+3\cdot(-2)+3\cdot(-2)|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}+3^{2}}\cdot\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{8}{\sqrt{34}\cdot3}=\frac{8}{3\sqrt{34}}.
Следовательно,
\varphi=\arccos\frac{8}{3\sqrt{34}}=\arccos\frac{4\sqrt{34}}{51}.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 11 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 6.31, с. 60