14047. Основание призмы — равнобедренная трапеция, основания которой равны 12 и 16, а радиус описанной окружности равен 10. Боковое ребро призмы равно 20 и образует с плоскостью основания угол 30^{\circ}
. Найдите объём призмы.
Ответ. 280 или 1960.
Решение. Пусть основание призмы — равнобедренная трапеция ABCD
с основаниями AD=16
и BC=12
, высотой CP=h
, радиусом R=10
описанной окружности и углом \alpha
при основании AD
. Тогда (см. задачу 1921)
AP=\frac{AD+BC}{2}=\frac{16+12}{2}=14,~DP=2,~AC=\sqrt{AP^{2}+CP^{2}}=\sqrt{196+h^{2}}.
Из прямоугольного треугольника CPD
находим, что
\ctg\alpha=\ctg\angle ADC=\frac{DP}{CP}=\frac{2}{h}.
Тогда
\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{h^{2}}{4}}}=\frac{h}{\sqrt{4+h^{2}}}.
Описанная окружность трапеции ABCD
является описанной окружностью треугольника ACD
, значит, по теореме синусов
AC=2R\sin\alpha=\frac{20h}{\sqrt{4+h^{2}}},
или
\sqrt{196+h^{2}}=\frac{20h}{\sqrt{4+h^{2}}},~\sqrt{(196+h^{2})(4+h^{2})}=20h,~
h^{4}-200h^{2}+4\cdot196=0,~(h^{2}-4)(h^{2}-196)=0,
откуда h=2
или h=14
. Тогда
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=14\cdot2=28
или
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=14\cdot14=196.
Пусть A_{1}H
— высота данной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
искомого объёма V
. Боковое ребро AA_{1}=20
образует угол 30^{\circ}
с плоскостью основания ABCD
, поэтому A_{1}H=\frac{1}{2}AA_{1}=10
. Следовательно,
V=S_{ABCD}\cdot A_{1}H=28\cdot10=280
или
V=S_{ABCD}\cdot A_{1}H=196\cdot10=1960.