14048. Основание тетраэдра ABCD
— равносторонний треугольник ABC
со стороной \sqrt{6}
. Ребро AD
равно 3\sqrt{3}
. Боковые грани тетраэдра равновелики. Найдите объём тетраэдра.
Ответ. \frac{5\sqrt{3}}{2}
или \frac{3\sqrt{7}}{2}
, \frac{3\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Поскольку боковые грани тетраэдра равновелики, а их стороны AB
, BC
и CD
равны, то равны и высоты граней, опущенные на эти стороны. Тогда боковые грани тетраэдра образуют равные углы с плоскостью основания. Следовательно, высота тетраэдра, опущенная из вершины D
, проходит либо через центр окружности, вписанной в основание ABC
, либо через центр одной из вневписанных (см. задачу 7167).
Пусть S
— площадь треугольника ABC
, r
— радиус вписанной окружности, R
— радиус вневписанной окружности, h
— высота треугольника ABC
, H
— высота тетраэдра, V
— его объём. Тогда
S=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{6\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2},~h=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2},
r=\frac{1}{3}h=\frac{\sqrt{2}}{2},~R=h=\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда OA=2r=\sqrt{2}
. Из прямоугольного треугольника AOD
находим, что
H=DO=\sqrt{AD^{2}-OA^{2}}=\sqrt{27-2}=5.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}S\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot5=\frac{5\sqrt{3}}{2}.
Пусть O_{1}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны AB
в точке M
. Тогда M
— середина AB
, O_{1}M=R=\frac{3\sqrt{2}}{2}
. Из прямоугольных треугольников AMO_{1}
и AO_{1}D
находим, что
O_{1}A^{2}=O_{1}M^{2}+AM^{2}=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=6,
H=DO_{1}=\sqrt{AD^{2}-O_{1}A^{2}}=\sqrt{27-6}=\sqrt{21}.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}S\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{21}=\frac{3\sqrt{7}}{2}.
Если O_{1}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны AC
, получим тот же результат.
Пусть O_{2}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
. Тогда AO_{2}=2h=3\sqrt{2}
. Из прямоугольного треугольника ADO_{2}
находим, что
H=DO_{2}=\sqrt{AD^{2}-AO_{2}^{2}}=\sqrt{27-18}=3.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}S\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot3=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 11 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 19.58, с. 187