14050. Ребро AA_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равно d
. Площади граней ABB_{1}A_{1}
и ADD_{1}A_{1}
равны S_{1}
и S_{2}
. Угол между этими гранями равен \alpha
. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ. \frac{S_{1}S_{2}\sin\alpha}{d}
.
Решение. Рассмотрим тетраэдр ABDA_{1}
. Его объём в шесть раз меньше объёма параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Площади его граней ABA_{1}
и ADA_{1}
равны \frac{1}{2}S_{1}
и \frac{1}{2}S_{1}
, общее ребро AA_{1}
равно d
, а угол между этими гранями равен \alpha
. Значит (см. задачу 8301),
V_{ABDA_{1}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\frac{1}{2}S_{1}\cdot\frac{1}{2}S_{2}\sin\alpha}{d}=\frac{1}{6}\cdot\frac{S_{1}S_{2}\sin\alpha}{d}.
Следовательно, объём параллелепипеда равен \frac{S_{1}S_{2}\sin\alpha}{d}
.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 11 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 19.42, с. 185