14051. Найдите объём части конуса, заключённой между вершиной конуса и вписанным в него шаром, если осевое сечение конуса — равносторонний треугольник, а радиус шара равен R
.
Ответ. \frac{\pi R^{3}}{6}
.
Решение. Пусть S
— вершина конуса, SH
— его высота, O
— центр шара, вписанного в конус, r
— радиус окружности, по которой вписанный шар касается боковой поверхности конуса, O_{1}
— центр этой окружности.
Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник ASC
и вписанный в него круг радиуса R
. Пусть P
— точка касания вписанной окружности со стороной SA
равностороннего треугольника ADB
, Q
— точка пересечения этой окружности с отрезком SO
. Тогда точки O
и O_{1}
лежат на отрезке SH
, OP\perp SA
, PO_{1}=r
— высота прямоугольного треугольника SPO
, а
\angle OPO_{1}=\angle ASH=30^{\circ}.
Значит,
r=O_{1}P=OP\cos30^{\circ}=\frac{R\sqrt{3}}{2},~OO_{1}=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}R,~
SO_{1}=O_{1}P\ctg30^{\circ}=r\sqrt{3}=\frac{3}{2}R,~O_{1}Q=OQ-OO_{1}=R-\frac{1}{2}R=\frac{1}{2}R.
Искомый объём V
равен разности объёмов V_{1}
и V_{2}
конуса, отсекаемого от данного плоскостью окружности касания, и шарового сегмента высотой h=OO_{1}=\frac{1}{2}R
шара радиуса R
(см. задачу 9063). Следовательно,
V=V_{1}-V_{1}=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot SO_{1}-\frac{1}{3}\pi h^{2}\left(R-\frac{h}{3}\right)=
=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{3}{4}R^{2}\cdot\frac{3}{2}R-\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{1}{4}R^{2}\left(R-\frac{R}{6}\right)=\frac{3}{8}\pi R^{3}-\frac{5}{24}R^{3}=\frac{\pi R^{3}}{6}.