14053. Основание призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— трапеция ABCD
с основаниями BC
и AD
. Площади граней BB_{1}C_{1}C
и AA_{1}D_{1}D
соответственно равны S_{1}
и S_{2}
. Расстояние между плоскостями, содержащими эти грани, равно d
. Найдите объём призмы.
Ответ. \frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})d
.
Решение. Пусть AD\gt BC
. Достроим данную призму до треугольной призмы AEDA_{1}E_{1}D_{1}
, где E
и E_{1}
точки пересечения продолжений боковых сторон трапеций ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно.
Пусть расстояние от ребра EE_{1}
до плоскостей граней AA_{1}D_{1}D
и BB_{1}C_{1}C
равны d_{2}
и d_{1}
тогда d_{2}-d_{1}=d
. Отношение этих расстояний равно отношению оснований AD
и BC
трапеции ABCD
, а так как у параллелограммов AA_{1}D_{1}D
и BB_{1}C_{1}C
стороны AA_{1}
и BB_{1}
равны, то отношение сторон AD
и BC
равно отношению площадей этих параллелограммов. Таким образом, \frac{d_{2}}{d_{1}}=\frac{S_{2}}{S_{1}}
. Из системы
\syst{d_{2}-d_{1}=d\\\frac{d_{2}}{d_{1}}=\frac{S_{2}}{S_{1}}\\}
находим, что d_{2}=\frac{dS_{2}}{S_{2}-S_{1}}
и d_{1}=\frac{dS_{1}}{S_{2}-S_{1}}
. Следовательно (см. задачу 7237),
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=V_{AEDA_{1}E_{1}D_{1}}-V_{BECB_{1}E_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}S_{2}d_{2}-\frac{1}{2}S_{1}d_{1}=
=\frac{1}{2}\left(\frac{S_{2}^{2}d}{S_{2}-S_{1}}-\frac{S_{1}^{2}d}{S_{2}-S_{1}}\right)=\frac{1}{2}d\cdot\frac{S_{2}^{2}-S_{1}^{2}}{S_{2}-S_{1}}=\frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})d.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 11 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 18.37, с. 176