14054. Основание наклонной призмы — квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а площадь каждой из двух других боковых граней равна 36. Боковые рёбра призмы равны рёбрам основания и образуют с плоскостью основания угол 30^{\circ}
. Найдите объём призмы.
Ответ. 108.
Решение. Пусть основание данной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— квадрат ABCD
со стороной a
, а плоскости граней ABB_{1}A_{1}
и CDD_{1}C_{1}
перпендикулярны плоскости основания. Тогда перпендикуляр B_{1}H=h
, опущенный на прямую AB
, является перпендикуляром к плоскости основания ABCD
(см. задачу 7712), т. е. высотой призмы. Значит, угол бокового ребра BB_{1}
с плоскостью основания — это угол HBB_{1}
. По условию \angle HBB_{1}=30^{\circ}
, поэтому
h=B_{1}H=\frac{1}{2}BB_{1}=\frac{1}{2}a.
Кроме того, из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что BB_{1}\perp BC
, поэтому грань BCC_{1}B_{1}
— тоже квадрат со стороной a
. Тогда a^{2}=36
, откуда a=6
.
Пусть V
— искомый объём призмы. Тогда
V=S_{ABCD}\cdot h=a^{2}h=\frac{a^{3}}{2}=\frac{216}{2}=108.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 11 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 18.33, с. 176