14056. Дан тетраэдр ABCD
. Точка M
— середина медианы DK
треугольника ADB
. На медиане DF
треугольника ADC
отметили такую точку N
, для которой DN:NF=1:2
. В каком отношении плоскость AMN
делит объём тетраэдра?
Ответ. 1:14
.
Решение. Пусть прямая AM
пересекает ребро DB
в точке P
. Через точку D
проведём прямую, параллельную ребру AB
, и продолжим отрезок AM
до пересечения с этой прямой в точке X
. Пусть P
— точка пересечения AX
и DB
. Обозначим AK=KB=a
. Из равенства треугольников DMX
и KMA
получаем, что DX=AK=a
, а из подобия треугольников DPX
и BPA
—
\frac{DP}{PB}=\frac{DX}{AB}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}.
Значит, \frac{DP}{DB}=\frac{1}{3}
.
Пусть прямая AN
пересекает ребро DC
в точке Q
. Через точку D
проведём прямую, параллельную ребру AC
, и продолжим отрезок AN
до пересечения с этой прямой в точке Y
. Пусть Q
— точка пересечения AY
и DC
. Положим AF=FC=2b
. Из подобия треугольников DNY
и FNA
получаем, что
DY=AF\cdot\frac{DN}{NF}=2b\cdot\frac{1}{2}=b,
а из подобия треугольников DQY
и CQA
—
\frac{DQ}{QC}=\frac{DY}{AC}=\frac{b}{4b}=\frac{1}{4}.
Значит (см. задачу 3007), \frac{DQ}{DC}=\frac{1}{5}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle PDQ}}{S_{\triangle BDC}}=\frac{DP}{DB}\cdot\frac{DQ}{DC}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15},
откуда
\frac{V_{ADPQ}}{V_{ABCD}}=\frac{S_{\triangle PDQ}}{S_{\triangle BDC}}=\frac{1}{15}.
Тогда искомое отношение равно \frac{1}{14}
.