14068. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
диагональ CA_{1}
, равная d
, наклонена к плоскости основания под углом 60^{\circ}
и образует угол 45^{\circ}
с плоскостью, проходящей через диагональ AC_{1}
и середину бокового ребра BB_{1}
. Найдите площадь основания параллелепипеда.
Ответ. \frac{d^{2}\sqrt{3}}{8\sqrt{5}}
.
Решение. Обозначим AB=a
, AD=b
. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и образуют равные углы с плоскостью основания ABCD
, т. е. AC_{1}=CA_{1}=d
и \angle CAC_{1}=\angle ACA_{1}=60^{\circ}
.
Пусть Q
и P
— середины боковых рёбер BB_{1}
и DD_{1}
, X
— точка пересечения прямых C_{1}Q
и BC
. Тогда AP\parallel C_{1}Q
, поэтому секущая плоскость пересекает грань ADD_{1}A_{1}
по отрезку AP
(см. задачу 8009). Пусть Y
— точка пересечения прямых C_{1}P
и CD
. Тогда XY
— прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью основания ABCD
, и точка A
— середина отрезка XY
,
DY=AB=a,~BX=AD=b,~CY=2a,~CX=2b,
XY=\sqrt{4a^{2}+4b^{2}}=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2AC=2\cdot AC_{1}\cos\angle CAC_{1}=2d\cos60^{\circ}=d.
Проведём высоту CK
прямоугольного треугольника XCY
. Тогда
CK=\frac{CY\cdot CX}{XY}=\frac{2a\cdot2b}{d}=\frac{4ab}{d}=\frac{4S}{d},
где S=ab
— площадь прямоугольника ABCD
.
Пусть O
— центр данного параллелепипеда. Тогда O
— середина диагонали CA_{1}
. По теореме о трёх перпендикулярах C_{1}K\perp XY
, значит, высота CF
прямоугольного треугольника KCC_{1}
— перпендикуляр к секущей плоскости, а FO
— ортогональная проекция наклонной CO
на плоскость сечения. Следовательно, COF
угол прямой CA_{1}
с этой плоскостью, и по условию \angle COF=45^{\circ}
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника COF
находим, что
CF=\frac{CO}{\sqrt{2}}=\frac{\frac{d}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{d\sqrt{2}}{4}.
Отрезок CF
— высота прямоугольного треугольника KCC_{1}
с катетами
CK=\frac{4S}{d},~CC_{1}=AC_{1}\sin\angle CAC_{1}=d\sin60^{\circ}=\frac{d\sqrt{3}}{2}
и гипотенузой
KC_{1}=\sqrt{CK^{2}+CC_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{16S^{2}}{d^{2}}+\frac{3d^{2}}{4}}.
Значит, CK\cdot CC_{1}=KC_{1}\cdot CF
, или
\frac{4S}{d}\cdot\frac{d\sqrt{3}}{2}=\frac{d\sqrt{2}}{4}\cdot\sqrt{\frac{16S^{2}}{d^{2}}+\frac{3d^{2}}{4}},~2S\sqrt{3}=\sqrt{2S^{2}+\frac{3d^{4}}{32}}.
После возведения в квадрат и очевидных упрощений получаем, что S=\frac{d^{2}\sqrt{3}}{8\sqrt{5}}
.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2015-2016, отборочный этап, задача 10, вариант 1, 11 класс